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1已知正实数a,β,y δ,若对任意 n∈N,都有 [lbk]αn[rbk][lbk]βn[rbk]=[lbk]γn[rbk][lbk]δn[rbk], 且{a,β}≠{γ,δ},证明:αβ=γδ,且α,β,γ,δ 为正整数.
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1初等数论问题集-A51 问题A51:a,b,c,d是奇数,0<a<b<c<d,且ad=bc。证明:如果存在整数k、m使得a+d=2^k,b+c=2^m,则a=1。
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1问题A48:n是一个正整数,则1/3+1/5+...+1/(2n+1)不是整数
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332这里是唯一可以水经验的地方 防水:求证当m为给定正整数时存在无穷多个mk+1(k是正整数)为素数
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17如果p, q是不相等的奇素数,那它们之间的二次剩余Legendre符号满足 (p/q)×(q/p) = (-1)^((p-1)(q-1)/4) 它相当于: ① 若p≡1(mod 4)或q≡1(mod 4),则当p R q时q R p,当p N q时q N p ② 若p≡q≡3(mod 4),则当p R q时q N p,当p N q时q R p
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7最小正剩余: 对任何正整数m和任何整数a,总存在唯一一个不超过m的正整数n满足n≡a(mod m),正整数n叫作a模m的最小正剩余 Gauss引理: 如果整数a与奇素数p互素,并且a, 2a, …, (p-1)a/2 这(p-1)/2个数模p的最小正剩余中一共有μ个大于p/2 那 Legendre符号(a/p)= (-1)^μ
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6设p是奇素数, a是整数 如果(a, p)=1, a R p,令Legendre符号(a/p)= 1 如果(a, p)=1, a N p,令Legendre符号(a/p)= -1 如果p ℓ a,令Legendre符号(a/p)=0 Euler准则: a^((p-1)/2)≡(a/p) (mod p)
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0设p是素数,k是正整数,f(x)是一个关于x的整系数多项式,f'(x)是f(x)的(形式)导函数多项式,如果整数n满足f(n)≡0(mod p^k) ⑴ 若(f'(n), p)=1,则恰有一类m (mod p^(k+1))使m≡n(mod p^k) 且 f(m)≡0(mod p^(k+1)) ⑵ 若p ℓ f'(n) 且 f(n)≠0 (mod p^(k+1)),则不存在m (mod p^(k+1)) 使m≡n(mod p^k) 且 f(m)≡0(mod p^(k+1)) ⑶ 若p ℓ f'(n) 且 f(n)≡0(mod p^(k+1)),则所有满足m≡n(mod p^k) 的剩余类m (mod p^(k+1)),都满足f(m)≡0 (mod p^(k+1))
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0设p是一个奇素数,对与p互素的整数a,用 a^(-1)表示 a模p的数论倒数,也就是使得 a×b≡b×a≡1(mod p)的 b(mod p) 则 (2^(p-1)-1)/p ≡ 1+ 3^(-1)+ 5^(-1)+…+ (p-2)^(-1) (mod p)
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0如果正整数m>2,设所有满足1≤t≤m且与m互素的正整数t分别是t₁, t₂, …, t(k),k=φ(m),关于x的k次整系数多项式f(x) = (x-t₁)(x-t₂)…(x-t(k)) ⑴ 若p是m的一个奇素因子且p^a ℓℓ m,则 f(x) ≡ (x^(p-1)-1)^(k/(p-1)) (mod p^a) ⑵ 若m是偶数且2^a ℓℓ m,则 f(x) ≡ (x²-1)^(k/2) (mod 2^a) 这两个同余号都是指多项式同余
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0设所有与正整数m互素且满足1≤t≤m的正整数t分别是t₁, t₂, …, t(k),k=φ(m) 如果正整数s, r满足1/t₁ + 1/t₂ +… + 1/t(k) = s/r,那么 ⑴ 当(m, 6)=1时,m² ℓ s ⑵ 当(m, 2)=1且3 ℓ m时,m²/3 ℓ s ⑶ 当(m, 3)=1, 2 ℓ m且m不是2的幂次时,m²/2 ℓ s ⑷ 当6 ℓ m时,m²/6 ℓ s ⑸ 当m=2ⁿ, n≥1时,m²/4 ℓ s
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2初等数论问题集-A23 问题A23:(Wolstenholme定理)p是大于3的素数,将1+1/2+1/3+...+1/(p-1)表示成为分数的形式,则它的分子是p2的倍数。
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2若p是素数,则关于x的多项式f(x) = (x-1)(x-2)…(x-p+1) 和 g(x)=x^(p-1)-1 模p同余 如果设f(x)的 x^i 项系数为a(i),相当于 ⑴ a(0)≡-1(mod p) ⑵ a(p-1)≡1(mod p) ⑶ 若存在正整数i使1≤i≤p-2,则a(i)≡0(mod p)
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4求所有正整数a,b,c,使(2^a-1)(3^b-1)=c!
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6若p为素数,m, n是正整数,F₁, F₂, …, F(m) 是m个关于x₁, x₂, …, x(n) 的整系数多项式,它们次数分别是f₁, f₂, …, f(m),并且满足 f₁+f₂+…+f(m) ≤ n-1 那同余方程组 F(i)(x₁, x₂, …, x(n))≡0(mod p),1≤i≤m 的解 (x₁(mod p), x₂(mod p), …, x(n)(mod p))的总数一定是p的倍数
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2设A, B是两个整数集合,第三个整数集合C= {a+b ℓ a∈A, b∈B},p是某个素数,用ℓAℓ(mod p), ℓBℓ(mod p), ℓCℓ(mod p)表示A, B, C中含有模p剩余类的个数 ⑴ 若 ℓAℓ(mod p) + ℓBℓ(mod p) ≥ p+1,则 ℓCℓ(mod p)=p ⑵ 若 ℓAℓ(mod p) + ℓBℓ(mod p) ≤ p,则 ℓCℓ(mod p)≥ ℓAℓ(mod p)+ℓBℓ(mod p) -1 合在一起可以写成 ℓCℓ(mod p) ≥ min{p, ℓAℓ+ℓBℓ-1}
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4包括Lagrange定理和Alon定理,它们其实都是代数定理,在一般的域都适用 ⑴ Lagrange定理: 若p为素数,F(x)是一个关于x的n次整系数多项式,且最高次项系数a≠0(mod p),则F(x)≡0(mod p) 最多只有n个模p不相同的解 ⑵ Alon定理: 若p为素数,r是正整数,假设S₁, S₂, …, S(r)是r个由整数组成的集合,ℓS(i)ℓ(mod p)表示S(i)中包含模p剩余类的个数(1≤i≤r),S={(x₁, x₂, …, x(r)) ℓ x(i)∈S(i), 1≤i≤r} 如果r元n次整系数多项式F(x₁, x₂, …, x(r))≡0(mod p)对任何一组(x₁, x₂,
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9问题A54:如果一个自然数n满足以下条件,我们就称n是好数:“对任意整数a,当n|a^n-1时,必然有n^2|a^n-1。” ①证明所有素数都是好数; ②证明有无穷多个合数是好数。
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16ax+by+cz=n,abc互素,正整数个数 由二元一次不定方程推导获得,ax+by=c 的正整数解个数f(c)=(c+ab-ai-bj)/ab,(a,b)=1,i≤b,j≤a,这样在周期循环的情况下获得三元不定方程解,一般的计算方法很多,以下是以代数计算的基本方法,f(n)=((n-a-b-c)n+R)/(2abc),R=(a+b+c-r0)r0+a(b+1)cd+(a+1)ce-2c(a∑i(d)+b∑j(e) 例2024x+215y+106z=2024215106的正整数个数 令y=2w 1012x+215w+53z=1012107553 =87zwx+8846173≡8741*215+281 →z=84m-88,y=-16m+23 m=4,i=33,j=12,k=8741-4=87 37
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10存在无穷多个正整数n, 使得n²+1是n!的因子.
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2问题A42:n是一个正整数,如果2n+1是素数,证明:n一定是2的方幂。
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3初等数论问题集-A44 问题A44:对于正整数n,如果4n+2n+1是一个素数,则n是3的方幂。
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1初等数论问题B20 第4章质数与合数E20 验证对每个整数r≥1,有无数个质数p使得p≡1(mod2r)
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1问题A29:对于哪些正整数k,存在无穷多对正整数(m,n)使得(m+n-k)!/(m!n!)是整数
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3求证:1^i+2^i+……+(p-1)^i≡0(modp), 2≤i≤p-2,P为素数,江苏省2017复赛最后题目用到的,怎么证明啊!!请大神们 帮忙看看啊!
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2大佬们,求助下这题,谢谢谢谢
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4任何正整数都可以表示成不超过4个正整数的平方和
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14对于4k+1型素数都可以表示成两数平方和
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37当n是正整数时,如果x^n=1的在复数域内所有本原单位根是ε₁, ε₂, …, ε(k),即对于任何正整数m满足1≤m<n, 它们不能作为x^m=1的根 那它们对应的多项式 f(x)=(x- ε₁)(x- ε₂)…(x- ε(k)) 叫作n次分圆多项式,记作φ(n, x) φ(n, x)实际上是次数为φ(n)的整系数多项式,并且不能因式分解成任何两个非常数的有理系数多项式的乘积
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5求所有函数 f:N→N,对所有自然数 m 和 n 都满足 f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2且 f(1)>0
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3如果给定两两互素的u, v, w,是否存在一个正整数N,使得 ⑴ N与u, v, w互素 ⑵ 所有满足n>N且n与u, v, w互素的正整数n,都能表示成a+b+c的形式,其中a, b, c是正整数,且(a, b)=u, (a, c)=v, (b, c)=w 如果有的话,就把最小的这样的N记成 g(u, v, w)
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48如果a, b, c的素因子已知,(a, b)=1且a+b=c,求出(a, b, c)的所有正整数解 ~~
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3问题A108:对于任意整数n>1,设P(n)为n的最大质因数,求三个不同的正整数x,y,z ,使其满足:(1)x,y,z 是等差数列;(2)P(xyz)≤3。
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1问题B1:证明对于任意正整数n,都有无穷多个素数p使得p的最小原根大于n。
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7问题A69:a,b是正整数,p是奇素数,d=(b,p-1)。证明:p^k||(a^b-1)→ p^k||b(a^d-1)。
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1初等数论问题集-A65 问题A65:小明在计算前n个正整数的乘积,小华在计算前m个偶数的乘积,m≥2,两人算出了同样的结果。证明:他们中肯定有一个人算错了。
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5初等数论问题集-A89 问题A89:求所有整数对(a,b),使得a2+b2+3是ab的倍数。