如果对原根和同余方程比较熟的话：
取p的原根r
设a≡r^n, 不妨0<=n<=p-1
设x≡r^m，不妨0<=m<=p-1, 则x与m是一一对应的
r^(mt)≡r^n mod(p)
mt≡ n mod(p-1)
要使未知数m唯一解，由一次同余方程的已知结论
得充要条件是gcd(t,p-1)=1 ；
留作楼主习题，明天交。

所以说第一问的答案是当 gad (t,p-1) = 1 时有唯一解么？
不过我需要证明的是“当且仅当”，也就是说不仅要证明 x 唯一时 gad (t,p-1) = 1 ，还要证明 gad (t,p-1) = 1 时 x 唯一。 以下是我的思路 ：
假设 gcd(t-1,p) = 1，r为p的原根：
于是存在唯一的整数 n (0<n<p)使得 r^n ≡ a mod p.
因为gcd(t-1, p) = 1，所以 tm ≡ n mod p-1 有唯一解 m.
所以有唯一的m满足： （r^m）t ≡ r*n ≡ a mod p
不过到了这一步我似乎只证明了 对于原根 r 存在唯一的 m (0=<m<=p-1) 使得
（r^m）t ≡ a mod p ， 并没有证明 r^m 就是 x^t ≡ a mod p 的唯一解。
请问这一步该怎么做呢？
我觉得如果这个问题彻底搞定了话，p = q^2 的证明方法应该是完全一样的吧 （因为 q^2 同样存在原根）。所以 p=q^2时的答案应该是 gcd(t-1, q^2 - 1) = 1 吗？
谢谢