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【线代】求证:置换矩阵是正交矩阵
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ax_pokl
知名人士
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已知A为置换矩阵(A为n阶方阵,A的元素由0和1构成,且A的每行和每列都恰好有一个1)。
求证:A为正交矩阵(即A^T=A^-1),并且其逆矩阵A^-1也是置换矩阵。
送TA礼物
IP属地:上海
1楼
2016-01-25 14:31
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ax_pokl
知名人士
10
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求大神解。
IP属地:上海
2楼
2016-01-25 15:32
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imbadeyun
核心吧友
7
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求证A*A^T=I (正交矩阵)
A在第n行只有π(n)上系数为1,其他都是0(置换矩阵定义)。
A=[eπ(1);eπ(2);....;eπ(n)]
ej表示第i个系数为1,其他都为0的横排数组,j=π(n)。
A^T=[eπ(1) eπ(2) ....eπ(n)]
A*A^T=[eπ(1);eπ(2);....;eπ(n)][eπ(1) eπ(2) ....eπ(n)]
矩阵乘法
(AB)ij=∑air*brj (1)
然后证明i必须=j,这个(AB)ij才=1,不然为0。
因为(AB)ij实质上=eπ(i)*(eπ(j))^T 就是表达式(1)
而eπ(i)*(eπ(j))^T=0 unless i=j
所以(AB)ij=0 unless i=j nxn的矩阵
然后这是单位矩阵的定义
所以A*A^T=I
所以正交
IP属地:江苏
3楼
2016-01-25 16:15
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捕黄雀的蝉
人气楷模
12
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证明:
置换矩阵
A(e1,,e2,e3,。。。,en)
显然A中的每个列向量都是单位向量。
于证明正交
|ei|=1,i=1,2,。。。n这个满足
其后是
<ei,ejt>等于0,i不等于j,即列列向量两两正交
由置换矩阵可知若是<ei,ejt>不等于0,那么必有ei=ej不满足置换矩阵定义
所以列列向量两两正交
得证
IP属地:江苏
4楼
2016-01-25 17:15
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KeyTo9
意见领袖
15
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根据书上的定理 行向量构成R^n标准正交基了,所以是正交矩阵
IP属地:广东
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5楼
2016-01-25 17:54
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m0606
人气楷模
13
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LS好厉害的样子
IP属地:广东
来自
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6楼
2016-01-25 23:20
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