再补几张用geogebra制作的图:
上图对应五楼第一张图,可知每层单数行(有五颗球的行)球心之间的距离为√(2²-1²)=√3。
上图对应五楼第三张图,演示如何计算第二层球(虚线圆)跟第一层球(实线圆)每行球心的纵向位移。设此位移为x(图中红线距离),因为虚线圆心跟三个实线圆心等距,则有:
√(x²+1/2²) = √(1²-1/2²) - x
x²+1/4 = (√3/2-x)² = 3/4-x√3+x²
x√3 = 1/2
x = √3/6
则五楼第二、三图两层球的总长度为1/2+√3/6+5*√3+1/2≈9.94892917。
上图演示如何计算每层球心之间的高度差距。图中黑球为第二层的球,蓝红绿球为第一层中与黑球接触的球。可知四个球的球心组成一个正四面体的四个角,则黑球球心投影到第一层球心水平面上的点为蓝红绿三球球心所组成正三角形的重心点。从本层第二图已知该重心点距离绿球球心√3/3,又黑绿两球球心之间距离为1,所以这个高度差距为√[1²-(√3/3)²]=√6/3。因为全部共有十二层,则总高度为1/2+11*√6/3+1/2≈9.98146239。