观察法：可得出解：
1、x=a，y=-a，z=0，a为整数
2、x=a^2，y=0（x、y不分先后次序），z=a^3，a为整数
3、令x=y，则2x^3=z^2,即z^2=2*2^(3t)a^(3s)=2^(3t+1)a^(3s)
因此，t为奇数，s为偶数，不妨设t=2m+1，s=2n
x=y=2^(2m+1)a^(2n),z=2^(3m+2)a^(3n)，a、m、n为整数
4、x=2，y=1，z=3显然是原方程的解。当然x=2a^2,y=a^2,z=3a^3也是原方程的解。
是否有其它解？

可爱的构造法：
x=ad,y=bd,z^3=x^3+y^3=(ad)^3+(bd)^3=d^3(a^3+b^3)
令d=k^2（a^3+b^3）^(2t+1)，z=k^3(a^3+b^3)^(3t+2)
此时·：x=k^2a（a^3+b^3）^(2t+1)，x=k^2b（a^3+b^3）^(2t+1)，z=k^3(a^3+b^3)^(3t+2)
当k=1，x=a（a^3+b^3）^(2t+1)，x=b（a^3+b^3）^(2t+1)，z=(a^3+b^3)^(3t+2)
还有一种情况，如a^3+b^3有k^2因子，可约去！
上述讨论，除了x=2，y=1，z=3，均为x、y有公因子，（x，y）=1，待续！

好麻烦，处理不好

不是无原则构造，有分析过程，不好吗？

当（x，y）=1
z^2=x^3+y^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]，
如(x+y，(x+y)^2-3xy）=d
则 x+y=da^2，(x+y)^2-3xy=db^2
d^2a^4-3xy=db^2，所以d/3xy。如d/x,从x+y=da^2知：d/y；反之d/y,从x+y=da^2知：d/x
因此：d=1、3
定理1：x^3+y^3=z^2，（x,y）=1,(x+y，(x+y)^2-3xy）=3的解：
2x、2y=3p^2q^2+-(3p^4-q^4)/2，p、q为奇数
定理2：x^3+y^3=z^2，（x,y）=1,(x+y，(x+y)^2-3xy）=1的解：
x、y=1/8*（3A^2-B^2）^2+-[0.5（3A^2+B^2）-AB][0.5（3A^2+B^2）-3AB]

定理1：x^3+y^3=z^2，（x,y）=1,(x+y，(x+y)^2-3xy）=3 ......(1)
(1)的解： x、y=1.5p^2q^2+-0.5(3p^4-q^4)/2，z=3/4*pq(3p^4+q^4)，p、q为奇数
证明：当(x+y,(x+y)^2-3xy)=3时，x+y=3a^2,(x+y)^2-3xy=3b^2,z=3ab
9a^4-3xy=3b^2，xy=3a^4-b^2,，x,y=1.5a^2+-0.5(4b^2-3a^4)^0.5
4b^2-3a^4=m^2 ,(2b+m)(2b-m)=3a^4，a=pq，b=(3p^4+q^4)/4,m=(3p^4-q^4)/2
或a=pq，b=(p^4+3q^4)/4,m=(p^4-3q^4)/2
2x=3p^2q^2+(3p^4-q^4)/2,2y=3p^2q^2-(3p^4-q^4)/2，p、q为奇数
或2x=3p^2q^2+(p^4-3q^4)/2,2y=3p^2q^2-(p^4-3q^4)/2，p、q为奇数
此二组解形式相同。归并为：
x、y=1.5p^2q^2+-0.5(3p^4-q^4)/2，z=3/4*pq(3p^4+q^4)，p、q为奇数 ......(2)
（2）完全满足x^3+y^3=z^2，从推导过程要求p、q为奇数，如p、q为奇数，也是原方程的解，不过x、y不互素！
自评：不定方程一般要求系数是整数，（2）可以化为整系数，但表达式太复杂。

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不都是正整数的解是否可以排除？

z^2=x^3+y^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]
当(x+y)，(x+y)^2-3xy）=1
x+y=a^2，a^4-3xy=b^2,xy=(a^4-b^2)/3
根据x+y=a^2，xy=(a^4-b^2)/3解得：x，y=0.5a^2+-0.5[(4b^2-a^4)/3]^0.5=0.5a^2+-0.5m
其中：(4b^2-a^4)/3=m^2,即（2b+a^2）(2b-a^2)=3m^2
(x,y)=1,x、y同为偶数不考虑，x、y要么同为奇数，要么一奇一偶
如x、y一奇一偶，a为奇数，b为奇数；如x、y均为奇数，a为偶数，b为奇数
当x、y一奇一偶，a为奇数，b为奇数时：m=pq
2b+a^2=3p^2,2b-a^2=q^2 ......(1）
或 2b+a^2=p^2,2b-a^2=3q^2 .....(2）
从（1）知：2a^2=3p^2-q^2，p=q+t，2a^2=3p^2-q^2=3(q+t)^2-q^2=2q^2+6qt+3t^2
a^2=q^2+3qt+1.5t^2=q^2+6qt1+6t1^2=(q+3t1)^2-3t1^2
(q+3t1+a)(q+3t1-a)=3t1^2，(q+3AB+a)(q+3AB-a)=3A^2B^2
q+3AB+a=3A^2,q+3AB-a=B^2，解得：a=0.5（3A^2-B^2）,q=0.5（3A^2+B^2）-3AB
p=q+t=q+2t1=0.5（3A^2+B^2）-AB
x，y=0.5a^2+-0.5m=1/8*（3A^2-B^2）^2+-[0.5（3A^2+B^2）-AB][0.5（3A^2+B^2）-3AB]
从（2）可得出一组解，网友自行解决。

要找到全部解不太好描述。
因为x和y不互素的话，方程可转化x³+y³=λz²，其中λ为无平方因子整数。
针对x和y互素的情形，可转为整环z[w]上的分解去求解。应该会有2种不同的解的结构[不计x和y的次序]。其中w为w^3=1的一个复数根。

记得某版大学教材有习题。更早些的时候也有老外研究出来，但文字太简缩，图片也不太清楚。

本人找到了全部整数解，这里只列出一组