我们的目的是在W里面找到一组[gi],使得方阵[gi(xj)]的秩与span(xn)的维度相等,这样对任意的f可以构造[gi]的一组线性组合g使之在span(xn)上与f的取值相等。下面可以考虑使用归纳法。注意n=1(r=1)的情形是自然的
不妨假设x1, x2, ..., xr与xr+1是线性无关的点列,且存在g1, g2, ..., gr使得r阶方阵G=[gi(xj)]满秩。现在考察[gi]等在xr+1上的取值,则一定存在唯一一组系数[bj],使得对任意i,有
gi(xr+1)=∑bj gi(xj)
也就是所有gi在yr+1=xr+1-∑bj xj上的取值都是0,存在唯一性由值方阵满秩保证。依假设yr+1≠0,依题设存在W上的g使得g(yr+1)≠0。
这样,向取值方阵G中加入yr+1的取值为一行,加入g的取值为一列,则分块的新矩阵G'的左下角是0且右下角是非0,故G'的秩为r+1仍然满秩。最后做行初等变化,对所有j从1到r,将第j行乘上bj倍加到r+1行,则新矩阵仍满秩,新矩阵是[gi](i从1到r+1)在[xj](j从1到r+1)的取值矩阵。归纳完成