例如最简单的a=1,b=2,c=3,

3x+4y+5z=n的正整数解个数为

7x+8y+9z=n的非负数解个数

代入n=100可得到f100=12,这个表达式就不如直接枚举每个解了，关键是化简求和部分太麻烦而且没有通用技巧。

这样，还算好求的可以将三个求和的各个周期找出来，就是主楼洋红色的三个求和。
第一求和其周期为a，第二、三求和周期依次为b,c.
如本楼对应三个周期的数据如下。

计算f100时，直接从上表中取数据f100=100*124/1008+767/6048+2/7-11/32-10/27=12.
枚举这12组解对应(x,y,z)=(0,8,4) (1,6,5) (2,4,6) (3,2,7) (4,0,8) (4,9,0) (5,7,1) (6,5,2) (7,3,3) (8,1,4)(12,2,0) (13,0,1),
如求解7x+8y+9z=100的正整数解个数g100=f76=76*100/124+767/6048-2/7-11/32-1/27=7
枚举7组解(x,y,z)=(1,6,5)(2,4,6)(3,2,7)(5,7,1)(6,5,2)(7,3,3)(8,1,4)
计算f(10^6)时,10^6 mod 7,8,9的结果依次是1,0,1
f(10^6)=10^6(10^6+24)/1008+767/6048-0+21/32-10/27=992087302

鉴于三角函数计算部分过于复杂，所以做一些变换，主要方法是降阶为为多个二元一次不定方程。利用二元一次不定方程的非负整数解公式计算。
引理：a,b,n为正整数，(a,b)=1, 那么ax+by=n的非负整数解的个数为(n-ax0-by0)/(ab)+1
其中x0为满足ax=n(mod b) 的最小非负整数解。y0为满足by=n(mod a) 的最小非负整数解。
证明很简单： 设x=bu+x0,y=av+y0,方程变为 u+v=(n-ax0-by0)/(ab) 的(u,v)的非负整数解个数(n-ax0-by0)/(ab)+1
这样对于n=cm+r, 其中0≤r<c,方程ax+by+cz=n改变为m+1个二元一次不定方程ax+by=ck+r,其中0≤k≤m.

求71x+9691y+524604z=5^100的非负整数解的个数。
5^100 mod (71*9691*524604）=154021003753
先求71x+9691y+524604z=154021003753
转变为71x+9691y=524604k+416977,其中0≤k≤m=293594
i[k]=(3294k+4235) mod 9691, 周期为9691，k从0到m,i[k]遍历了3个周期还剩2864项。
∑i[k]=3*9691*9690/2+i[0]+...+i[2864]=1422466942
j[k]=(30k+12) mod 71, 周期为71，k从0到m,j[k]遍历了4135个周期还剩10项。
∑i[k]=4135*71*70/2+12+42+1+31+61+20+ 50+ 9+39+ 69=10275809
所以对应f（154021003753）=(293594+1)*(524604*293594+2*416977)/(2*71*9691)+293594+1-1422466942/9691-10275809/71=32860401829
再根据表达式的周期规律可知
f(5^100)=32860401829+((5^100)*(5^100+534366)-154021003753*154021538119)/721919105688
=(5^200+534366×5^00+270667942745）/721919105688
=86201005470419189568050340093136347211402190008210081384897869075376054608346209074773958022584353844032368072447171843546452365;

看一下这个余式代数，
ax+by+cz=n，（a，b，c）互素的正整数个数
由二元一次方程递推
ax+by=n-cz
g（n）=∑（n-cz+ab-aik-bjk）/ab
=（n+ab）k/ab-ck（k+1）/（2ab）-a（b+1）（k-t1）/（2ab）-（a+1）b（k-t2）/（2ab）-（1/a）*∑it1-（1/b）*∑jt2，令k=（n-r）/c
则g（n）=（n（n-a-b-c）+R）/（2abc）
R=（a+b+c-r）r+a（b+1）ct1+（a+1）bct2-2c（a∑it1+b∑jt2）