有条件a≠b？

加上a≠b之后，如果(a+bn, an+b)=d，则d 整除 a+bn+an+b= (a+b)(n+1)，也整除 a+bn-(an+b)=(b-a)(n-1)
所以 d ℓ ((a+b)(n+1), (b-a)(n-1))
设(a+b, n-1)=u, (b-a, n+1)=v，则u ℓ n-1, v ℓ n+1，uv≤(n-1)(n+1)
而 ((a+b)(n+1), (b-a)(n-1)) = uv × gcd((a+b)/u * (n+1)/v , (a-b)/v*(n-1)/u )
①当n 是偶数时
⑴如果取a, b都是奇素数
u, v一定都是奇数，则(a+b)/u 和 (a-b)/v 都是偶数，gcd((a+b)/u * (n+1)/v , (a-b)/v*(n-1)/u ) = 2gcd((a+b)/2u * (n+1)/v , (a-b)/2v*(n-1)/u )
因为(a+b)/2u 和 (a-b)/2v，(a+b)/2u 和 (n-1)/u，(a-b)/2v 和 (n+1)/v，(n+1)/v 和 (n-1)/u 全都互素，所以 2gcd((a+b)/2u * (n+1)/v , (a-b)/2v*(n-1)/u ) = 2
所以d 整除((a+b)(n+1), (b-a)(n-1)) = 2uv
但由于a+bn 和 an+b 是奇数，所以d 也是奇数，则d整除uv，d≤uv=(n-1)(n+1)
⑵如果取a=2, b是奇素数
(a+b)/u 和 (a-b)/v , (a+b)/u 和 (n-1)/u，(a-b)/v 和 (n+1)/v，(n-1)/u 和(n+1)/v 都互素
所以gcd((a+b)/u * (n+1)/v , (a-b)/v*(n-1)/u )=1
d≤((a+b)(n+1), (b-a)(n-1)) = uv ≤ (n-1)(n+1)
②当n 是奇数时
⑴如果a, b都取奇素数，
u, v都是偶数，(n+1)/v 和 (n-1)/u 一定互素，(a+b)/u 和 (a-b)/v 也互素，(n+1)/v 和 (a-b)/v，(a+b)/u 和 (n-1)/u 也互素
所以gcd((a+b)/u * (n+1)/v , (a-b)/v*(n-1)/u ) = 1
d ≤((a+b)(n+1), (b-a)(n-1)) = uv ≤(n-1)(n+1)
⑵如果a=2, b取奇素数
u, v都是奇数，(n+1)/v 和 (n-1)/u 都是偶数
所以gcd((a+b)/u * (n+1)/v , (a-b)/v*(n-1)/u ) = 2gcd((a+b)/u * (n+1)/2v , (a-b)/v*(n-1)/2u )
同理等于2
所以d 整除((a+b)(n+1), (b-a)(n-1)) = 2uv
而此时a+bn和an+b 都是奇数，所以d也是奇数，d 整除uv，则d≤uv≤(n-1)(n+1)
(这时d 不会等于(n-1)(n+1)，因为(n-1)(n+1)是偶数)

综上所述，对任何正整数n≥2，和任何不相等素数a, b，(a+bn, an+b)≤n²-1
而由狄利克雷定理，对任意和n²-1互素的素数b，剩余类a≡-bn(mod n²-1) 中总有无穷多个素数 a
此时 an≡-bn²≡-b (mod n²-1)，则n²-1 整除a+bn 和an+b
所以n²-1 整除d，d=n²-1
所求最大值就等于n²-1

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