“拆分数问题”和“小球分装问题”，是一个问题的两种提法。都是求一次不定方程x₁+x₂+x₃+……+xm=n，满足条件1≤x₁≤x₂≤x₃≤……≤xm的解数f(n)。

推荐理由:操作简易且不失精准。

一、灵明积木公式(m=3)
f₃(n)=(x²+u)/12
式中:
u……n模6参数。
u₀=0，u₁=u₅=-1，u₂=u₄=-4，u₃=3。

二、赤尻积木公式(m=4)
f₄(n)=(x²(x+3)+w)/144
式中:
w……n模12参数。
w₀=0，w₁=w₇=-9n+5，w₂=-20，w₃=w₉=-9n-27，w₄=32，w₅=w₁₁=-9n-11，w₆=36，w₈=16，w₁₀=-4

三、通臂积木公式(m=5)
f₅(n)=(15n²(n²+10n+10)+w+t)/43200
式中:
w……n模12参数。
w₀=w₄= -1800n+6912，w₁=w₉=-450n+1863，w₂=-1800n+3288，w₃==w₇=-450n-3537，w₅=-450n+6663，w₆=w₁₀=-1800n-1512，w₈=-1800n-2112，w₁₁=-450n+1263。
t……n模5参数。
t₀=6912，t₁~t₄=-1728。

四、六耳积木公式

❶六耳积木Ⅰ式(m=6)
f₆(n)=(6n⁵+135n⁴+760n³+w+t)/518400
式中:
w……n模12参数。
w₀=2880n²+41472，
w₁=-1350n²-18870n-22153，
w₂=-6720n-15728，
w₃=-1350n²-9270n+7047，
w₄=-6720n-41728，
w₅=-1350n²-18870n-28553，
w₆=2880n+73872，
w₇=-1350n²-18870n+10247，
w₈=-6720n-48128，
w₉=-1350n²-9270n-25353，
w₁₀=-6720n-9328，
w₁₁=-1350n²-18870n+3847。
t……n模5参数。
t₀=-41472，t₁=41472，t₂=20736，t₃=0，t₄=-20736。

❷六耳积木Ⅱ式(m=7)
f₇(n)=(21n³(n³+42n²+560n+1960)+w+t+v)/76204800
式中:
w……n模12参数。
w₀=w₆=-232848n²-2116800n-6283008，
w₁=-133623n²+213150n+4470042，
w₂=w₈=-232848n²-1646400n²+2184192，
w₃=-133623n²-727650n+6247242，
w₄=w₁₀=-232848n²-1176000n++302592，
w₅=-133623n²-257250n-6349158，
w₇=133623n²+213150n+9232842，
w₉=-133623n²-727650n-2115558，
w₁₁=-133623n²-257250n-1586358。
t……n模5参数。
t₀=-3048192，t₁=-3048192，t₂=3048192，t₃=0，t₄=3048192。
ⅴ……n模7参数。
v₀=9331200，v₁~v₆=-1555200。

一~四合称《四猴积木公式》。

问题：把正整数n拆分成m个正整数之和,共有多少组不同的解？
可转化为：求下列方程的解的个数f（n）：
x₁＋x₂＋x₃＋……＋xm=n,其中，1≤x₁≤x₂≤x₃≤……≤xm。
现在把m=2、3、4、5、6、7的计算公式（“取整”式）列举如下：
m=2：f₂（n）=【n/2】;
m=3：f₃（n）=【(n²+3)/12】;
m=4：f₄（n）=【(n²(n+3)+F+50)/144】
式中F（奇）= -9n、F（偶）=0；
m=5：f₅（n）=【(n⁴+10n²(n+1)+F+1000)/2880】
式中F（奇）= -30n、F（偶）=-120n；
m=6：f₆(n)=【（6n⁵+135n⁴+760n³+F+20万)/518400】，
式中F为“模6参数式”。
F₀=2880n； F₁=F₅=-1350n²-18870n；
F₂=F₄= -6720n；F₃= -1350n²-9270n;
m=7：f₇(n)=【（21n⁶+882n⁵+11760n⁴+41160n³+F+5千万/76204800】，
式中F为“模6参数式”。
F₀= -232848n²-2116800n； F₁= -133623n²+213150n；
F₂= -232848n²-1646400n； F₃= -133623n²-727650n；
F₄= -232848n²- 117600n； F₅= -133623n²-257250n。

应用举例

例题一
有10个小球，分装到a，b，c三个箱子里。满足条件1≤a≤b≤c的装法共有多少种？

解:n=10，模6余4，u₄=-4
f₃(10)=(10²-4)/12=8

例题二
把正整数28拆分成3个正整数之和。满足x₁≤x₂≤x₃的解，共有多少组？