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我发到mathoverflow上面去了，编辑找出来好几个我拼错的单词和句子。。。不过好像已经有结果了

不存在连续6个正整数都是n²或者pn²的形式，p是素数, n²是完全平方数
假如存在这样的6个连续正整数，由于其中不能有两个数模4余2，所以它们除以4的余数只能是 3, 0, 1, 2, 3, 0 或者 0, 1, 2, 3, 0, 1
其中余数是2的数只能是 2a²的形式, a是一个奇数
那2a²-2也在这6个数中，如果2a²-2=pn²，p是1或者素数，那p不可能等于2，否则a²-1=n², 只能n=0, 2a²-2=0不是正整数
所以n是偶数，a是奇数，因式分解得到
(a+1)/2 × (a-1)/2 = 2p(n/4)²
其中(a+1)/2 和 (a-1)/2 互素
由于p是素数或者1，p只会整除其中一个，另一个一定形如2m²或者m²
所以a+1= 2m²，a-1=2m² ，a+1=m², a-1=m²中总有一个成立
而这6个数中有两个是3的倍数，其中一定有一个不是9的倍数，只能是3b²的形式
由于 2a²-3b²≡0或2 (mod 3)，2a²-3b²≡2, 6, 7(mod 8)，而且2a²只会在这6个数的中间两个之一出现，并且和3b²不相等
所以2a²-3b² 只可能是-1或2
如果2a²-3b²=2，那2a²+1 = 3b²+3≡3, 6(mod 9)，而2a²+1也一定在这6个数中，所以2a²+1 也是3c²形式的，那3b²+3=3c²，只可能b=0, 3b²=0不是正整数
所以只可能2a²-3b²=-1
这样 (2a²+1)(a+1)= 3(bm)² 或 6(bm)²
或者 (2a²+1)(a-1)= 3(bm)² 或 6(bm)²
这四个方程总有一个成立，它们每个都只有有限多组整数解，所以这样的2a²只有有限多个

最后解出只有a=±1或者2，所以2a²=2或者8，这两个解都不能使相邻6个正整数全都符合要求
所以不存在这样的6个连续正整数