整数解很好求啊，x, y不可能都小于等于0，假设x是正整数，如果x≥7
当y≥1-x时，x³+y³≥x³+(1-x)³= 1-3x+3x²≥127
当y≤-x时，x³+y³≤x³+(-x)³≤0
所以这时x³+y³=114无解，只可能x=1~6
代进去y³=114-x³，因为113, 106, 87, 50, -11, -102 都不是整数的立方，所以原方程无整数解

以前我想回答过。肯定没解的，否则x^3+y^3+z^3=114的整数解早就求出来了。
求解x^3+y^3=114
按分解(x+y)^3-3xy(x+y)=114
即可知道 x+y=(x+y)^3=3xy(x+y)+114=0(mod 3),
可设x+y=3u ,此时 27u^3-9xyu=114 左边是9的倍数，右边114不是9的倍数，矛盾。
所以 x^3+y^3=114是没有整数解的。

除以9的余数：0³＝0 1³＝1 2³＝8 3³＝0 4³＝1 5³＝8 6³＝0 7³＝1 8³＝8
x³/9的余数只能是0或±1，x³+y³＝114除以9余6，x³+y³除以9的余数是0或±1或±2可能有解，但是除以9余数是6无整数解。

这个方程并不直接对应椭圆曲线的形式。

x^3+y^3=114有没有整数解，想多了。还是题目表达错了？
x^3+y^3=114即为：（x+y）[(x+y)^2-3xy]=114=1*2*3*19
右边有因子3，如x+y不含因子3，,(x+y)^2-3xy也无因子3，因此3/x+y
x+y=+-3,+-6,+-57，+-114
对应(x+y)^2-3xy=+-114，+-57，+-6，+-3
注意x+y，(x+y)^2-3xy同时取+，同时取-，
联立方程组分别求解！