第一章
1.是否存在仅有可数个元素的σ-代数?

2.对n个函数叙述定理1.8的结果.

3.设f是可测空间X上的实函数,使得对每个有理数r,{x|f(x)>=r}是可测集,证明f可测.

4.设X是不可数集,M是所有使得E或E^c是至多可数集的E所组成的集族,在第一种情形下定义μ(E)=0,在第二种情况下定义μ(E)=1.证明M是X内的σ-代数,μ是M上的测度.描述对应的可测函数及其积分.

5.若n是奇数,令fn=χE.若n是偶数,令fn=1-χE.这个例子与Fatou引理有什么关系?

7.假设μ(X)<+inf,{fn}是X上一个有界复可测函数序列,且fn->f在X上是一致的.证明：
lim(n->+inf)∫_Xfndμ=∫_Xfdμ.并且指明μ(X)<+inf不能省略.

弱弱的问句，本科阶段的东西你还有没学的么

8.证明在定理1.41中A=∩(1,+inf)[∪(n,+inf)Ek].

9.设f属于L^1(μ),证明对每个e>0,存在d>0使得μ(E)<d时,∫_E|f|dμ<e.

10.证明命题1.24(c)在c=+inf时也成立.

6.设μ是X上的正测度,f:X->[0,+inf]是可测的,∫_Xfdμ=c,0<c<+inf,a是一个常数,证明:
lim(n->+inf)∫_Xnln[1+(f/n)^a]dμ=+inf{0<a<1},=c{a=1},=0{1<a<+inf}.

第二章
1.设fn是R1上的非负实函数序列,考虑下列命题:
(a)若f1,f2上半连续,则f1+f2上半连续.
(b)若f1,f2下半连续,则f1+f2下半连续.
(c)若每个fn上半连续,则∑(1,+inf)fn上半连续.
(d)若每个fn下半连续,则∑(1,+inf)fn下半连续.
判断正误,并考虑去掉非负条件,以及将R1改为一般拓扑空间时的正误.

3.对于度量空间X,其度量为ρ.对任意非空子集E⊂X,定义ρ_E(x)=inf{ρ(x,y):y∈E}.则ρ_E(x)一致连续.设A和B是X中不相交的闭集,f(x)=ρ_A(x)/(ρ_A(x)+ρ_B(x)).检验f满足Urysohn引理.

4.证明cantor集的测度为0,但它与R等势.