一、线形H3分子
当假设H3分子为线形时，可以得到

我们将3个氢原子以x，y，z标记以示区分，并认为它们对应的原子轨道波函数分别为X，Y，Z，而它们通过线性组合形成线形H3分子时的数字系数分别为cx，cy，cz
于是我们可以得到线形H3分子的波函数为
Ψ = cxX + cyY + czZ
使用变分法求久期方程和久期行列式

先求解分母部分

再求解分子部分

故

简写为 E = N/D，N表示分子，D表示分母
由于能最小化体系能量的数字系数c在微分表示中满足
、



由此，三个久期方程已经得出

整理久期方程，使其每一个都形如cx·A +cy·B + cz·C = 0
于是，整理后的久期方程为

得到的久期行列式为

使用休克尔法进行近似
（1）由于线形H3分子由3个氢原子组成，对这3个氢原子做等价处理的结果为αx = αy = αz = α
（2）

由于氢原子x与氢原子z不相邻，故βxz = 0，而βxy = βyz = β
（3）Sxy = Syz = Sxz = 0
经休克尔法进行近似处理后，线形H3分子的久期行列式为

令 -x = (α - E)/β，则原行列式转变为

令行列式的值为0，则有-x^3 + 2x = 0，解得
x1 = 0，x2 = 根号2，x3 = 负根号2
于是，可解出由3个氢原子1s轨道组合出的3个分子轨道的能量
备注：α和β都是负值

由于H3分子只有3个电子，故成键轨道全满，非键轨道半满，反键轨道全空，总能量

备注：休克尔分子轨道法认为，1个位于m号轨道上的能量对应的能量为Em

二、环状H3分子
使用变分法导出的环状H3分子的久期方程和久期行列式都和线形H3分子相同

使用休克尔法进行近似
（1）由于环状H3分子由3个氢原子组成，对这3个氢原子做等价处理的结果为αx = αy = αz = α
（2）

环状H3分子，任意2个氢原子都相邻，故βxy = βyz = βxz = β
（3）Sxy = Syz = Sxz = 0
经休克尔法进行近似处理后，环状H3分子的久期行列式为

令 -x = (α - E)/β，则原行列式转变为

令行列式的值为0，则有-x^3 + 3x + 2 = 0，解得x = -1或2
于是，可解出由3个氢原子1s轨道组合出的3个分子轨道的能量
备注：α和β都是负值

由于H3分子只有3个电子，故成键轨道全满，构成简并对的两个分子轨道一个半满，一个全空，总能量

备注：休克尔分子轨道法认为，1个位于m号轨道上的能量对应的能量为Em

由此，我们可以知道，
线性H3分子的能量为

环状H3分子的能量为

由于 2倍根号2 < 3，故环状H3分子的能量更低，H3分子采取环状构型存在
三、H3+ 离子
采取环状

H3+离子只有2个电子，即成键全满，简并对全空，能量

采取线形

H3+离子只有2个电子，即成键全满，其它轨道全空，能量

由于 2倍根号2 ＜ 4 ，故环状H3+能量更低，H3+离子采取环状构型存在
三、H3- 离子
采取环状

H3-离子有4个电子，即成键全满，简并中一个全满，另一个全空，能量

采取线形

H3-离子有4个电子，即成键全满，非键轨道全满，反键轨道全空，能量

由于 2倍根号2 ＞ 2，故线型H3-能量更低，H3-离子采取线形构型存在


鸣谢：氟钍酸钾K2ThF6，Thavincy