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相关系数r的几何意义是什么？

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考虑一条长度为1的线段，随机切成两段，左段长为X，右段长为Y，则容易看出X+Y=1。而且能发现X与Y恰好是此消彼长。但如果换成实际生活中的例子，就没有这么漂亮（严格）的结论。比如，你找到的木条可能长度不会恰好是1，也许是0.998，也许是1.035等等；而且切割后，两段之和也会减少，因为切割时会有损耗（掉渣）。
来自Android客户端1楼2019-05-21 07:44回复
    假设现在有一批木条是等长的，这些木条都被随机切分成两段，左段的长度都记录在X中，右段的记录在Y中。
    来自Android客户端2楼2019-05-21 07:48
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      如果将X与Y这两组数据画在二维平面上，会发现这两组数据的形状很“相似”。画图时，对于数据X来说，纵轴度量的是木条长度，而横轴为时间轴（或者是序号轴）。
      来自Android客户端3楼2019-05-21 12:17
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        X与Y的图像是很像的，只是位置不同、胖瘦（尺度）不同。若保持Y不变，而将X进行平移与缩放，则有可能将X与Y的图形重合。
        来自Android客户端4楼2019-05-21 12:20
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          根据中学知识，乘以常数，相当于缩放（想像一下“三角函数改变周期”）；加上常数，相当于平移（想像一下“左加右减”）。所以上述操作可表示为Y=a+bX。
          来自Android客户端5楼2019-05-21 12:24
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            如果经过上述操作，两个图像能完全重合，则称X与Y是线性相关的，或线性相关程度达到最大，记为|r|=1。其中，r就是相关系数。如果只能大部分重合，则称|r|=0.9等等。
            来自Android客户端6楼2019-05-21 12:28
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              考虑|r|=1。当r=-1时，可以想像开始那个例子：X+Y=1，因为它们此消彼长，单调性相反，所以称为负相关。当r=1时，就是通常所说的正相关。比如，对一批长度不等的木条，每一根都切分成等长的两段，会得到Y=X/2，二者是同增同减，单调性相同的。
              来自Android客户端7楼2019-05-21 12:33
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                需要注意的是，Y=a+bX表示了且只能表示X经过“平移”与“缩放”后与Y重合，所以如果发现有|r|=0，也只能说明二者没有线性关系而已，不能说明它们没有其他联系。（也许X经过“局部扭曲”、“局部翻折”等操作能与Y完全重合呢。）
                来自Android客户端8楼2019-05-21 12:39
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                  一般地，X,Y相互独立（没有任何关系）意味着X,Y不相关（没有线性关系），反之不成立。但有一个极端特殊的情况就是：二维正态分布（X，Y)，它的独立与不相关是完全等价的。换言之，如果没有线性关系，那就啥关系都没了，细思极恐。
                  来自Android客户端9楼2019-05-21 13:03
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