翻译的专有名词暂时先用我自己造的
一般来说，有且只有一个点满足它的极锥线(polar conic)是圆。事实是，因为P^o的极锥线经过两个圆环点J_1，J_2，而这两点的极线是两条虚拟的共轭线(它们的形式是L_1=D_1+iD_2，L_2=D_1-iD_2，这里D_1，D_2是两条真实的线)L_1，L_2的交点就是所求的点P^o。
对于一条外接三次曲线，P^o是唯一的焦点。
如果这条三次曲线有三条实渐近线，那么P^o就是这三条线围成三角形的共轭重心。过P^o作与三渐近线平行的三条线与三次曲线交于六个点，则这六点共圆，当这条线退化为三边时，这个六点圆退化为莱莫恩圆。图2.3展示了外位似中心的主等角三次曲线，K414，P^o=X_9，X_9的极锥线是圆心X649，经过X_15，X_16，X_1276，X_1277。
如果三个不共线的点对于三次曲线的极锥线为圆，那么这个三次曲线退化为圆和无穷远线的并。当两点的极锥线为圆，这两点连线上的点的极锥线皆圆，这条线称为三次曲线的圆环线(circular line)。于是，任意一条线都存在一个点使得其极锥线为圆，并且平面上任意一点的极锥线轴向相同。

定义三次曲线的极锥线(polar conic)是一点向三次曲线作切线的六个切点形成的锥线。定义一点对三次曲线的极线(polar line)是该点对极锥线的极线。定义三次曲线的直径(associated diameter)是无穷远点对三次曲线的极线。定义三次曲线所有直径包络而成的锥线为径锥线(无穷远线极线的包络锥线poloconic of the line at infinity)。径锥线是满足极锥线是抛物线的点的轨迹。

记满足P的极锥线为等轴双曲线的点轨迹为三次曲线的正极线(orthic line)，它是径锥线上焦点的极线，当该三次曲线有三条实渐近线时，径锥线是由这三条渐近线围成三角形的中点椭圆，正极线是该三角形的极轴。如果三条不共线的点的极锥线都是等轴双曲线，那么平面上任意一点的极锥线都是等轴双曲线。极锥线为抛物线的充要条件是极点在径锥线上。

记P，Q是两点，[c]P，[c]Q是它们的极锥线，则P关于[c]Q的极线与Q关于c[P]的极线重合。这条共同的极线称为P，Q的复合极线(mixed polar line of P and Q)，记作[L]_P，Q。

满足P的极锥线退化为过Q的相交直线的轨迹称为三次曲线的海森曲线[H](Hessian)，此时Q也在[H]上，P与Q为一组对应点(共轭点)。P，Q关于[H]的切线交于R，则R在[H]上，且R的极锥线退化为经过S的两条直线，其中一条是PQ，另一条是P'Q'，这里P'、Q'也是[H]上的对应点。S称作P，Q的补点(complementary point)，S也是P'
，Q'的补点。P关于三次曲线的极线就是Q关于[H]的切线，反之亦然。QP，QR关于P的退化极锥线调和共轭。R，S也是[H]上的对应点。
熟知(7.54)[H]与原三次曲线交于九个共同的拐点，三个是实点，另外六个是虚点，每个拐点处的极锥线退化为两条直线，其中一条是拐切线，一条是该点关于原三次曲线的调和极线

楼主边学边更，希望大佬们多多指正@◆qzc◆ @◆神明少女◆ @Reset Ω @lfºwjo◆

当时我12月初的时候也研究了点这个东西。对于n次曲线，过一个点向n次曲线作切线的切点共n-1次曲线，我把它称为这个点关于这个n次曲线的n-1次极线，然后作这个点关于其n-1次极线的n-2次极线称为这个点关于这个n次曲线的n-2次极线，以此类推（我对此的严格定义是用全微分的，这里就不详细讲了，很容易推出来）。然后有一个配极原则：若P关于一个n次曲线的s次极线过Q，则Q关于这个n次曲线的n-s次极线过P。

也就是说，我把三次曲线的点的极锥线叫做2次极线，极线叫做1次极线

任意一条non-singular三次曲线可以看作是三条三次曲线(Ω_i, i = 1, 2, 3)的海森曲线，定义Ω_i是三次曲线[K]的逆海森曲线(prehessians)，它们未必都是实体线。
自然的，对于三次曲线[K]，它的海森曲线和它的三条逆海森曲线，由于它们经过九个共同的拐点，因此属于同一三次曲线系。它称作[K]的合冲三次曲线系(syzygetic pencil of cubics associated with [K])见图2.7。对于[K]上每一点P都有3个对应的点Q_i(i=1，2，3，对应相应的逆海森曲线)见图2.8。事实上，过R作[K]的四条切线，其中两条是RQ(RQ_1)和RP，剩余两条是RQ_2，RQ_3，则Q_2，Q_3在R的极锥线上。换言之，Q_1，Q_2，Q_3是P关于三条逆海森曲线( Ω_1, Ω_2, Ω_3)的退化极锥线。这三条退化极锥线围成完全四边形PQ_1Q_2Q_3�，它的对角线三角形由三个相应的补点S_1S_2S_3构成。P，Q_i(i=1，2，3)称为R的预切点(pretangentails)，见图2.9。

令[L]为一条直线，则[L]上的每一点M对于三次曲线[K]的极锥线形成一个二次曲线系， 它的四个不动点Ω_o, Ω_a, Ω_b, Ω_c (未必是实点)称为[L]关于[K]的极点(poles)。
设[L]是一条直线，[L]上的每一点M对[K]的极线包络锥线[c]L，记作[L]的包络锥线(poloconic)，则径锥线是无穷远线的包络锥线。
这四个点构成一个完全四边形，它的对角线三角形( [T] = T_aT_bT_c)关于该二次曲线系自极，当极点都是实点时，Ω_o在三角形内，其余三点是它关于该三角形的反ceva点。见图2.10。[L]的包络锥线经过:
1.不动点完全四边形对角线三角形的顶点T_a，T_b，T_c
2.Ω_o, Ω_a, Ω_b, Ω_c任意一边与[L]的交点关于该边端点的调和共轭点
3.直线[L]关于过Ω_o, Ω_a, Ω_b, Ω_c的二次曲线系对合的两不动点(未必是实点)
由此，[L]的包络锥线是二次曲线系中的一个11点曲线
如果[L]与[K]有三个交点XYZ，那么它们关于[K]的切线t_x，t_y，t_z也是XYZ关于它们的极锥线的切线，这三条切线围成三角形X'Y'Z'，则[L]的包络锥线内切于该三角形，透视中心是[L]关于其包络锥线的极点

当[L]与[K]相切于X，并与[K]再次交于X'，则[L]的包络锥线与[L]相切于X，且与X'关于[K]的切线相切

[L]的包络锥线与[K]的海森曲线[H]相切，设[L]交[H]于XYZ，则它们的公切点是XYZ关于[K]的退化极锥线的中心X'Y'Z'，X'Y'Z'是XYZ关于[H]的对应点，也是[L]关于[K]的四极点完全四边形的对角线三角形顶点。见图2.13

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回忆径锥线是无穷远线[L_∞]的包络锥线，它经过无穷远线四极点Ω_o, Ω_a, Ω_b, Ω_c两两的中点(共六个)，以及极点四边形对角线三角形的顶点(参考普通直线的调和)。事实上，径锥线的中心是[L]关于三次曲线的极点四边形的重心(isobarycenter)。当三次曲线有三条渐近线时，径锥线是渐近线围成的三角形的共轭重心。径锥线在渐近线重合时退化为相交直线。当径锥线是圆，渐近线的夹角变成60度，此时三次曲线是K_60。
图2补充一下qzc对径锥线的一个刻画。
图3是四边形重心的定义。