熟知北极点N为EFBC密克点,且NF=NE。重新定义X’为该反演反射下I的对应点。注意到NB,NC与圆BIC相切,那么圆BIC反射到圆FXE,并且这个圆与NF,NE相切。由此易知∠FXE=∠BIC。
取△NEF内心G则在弧中点。考虑反演反射,把四点组EFGX变换到BCJI,其中J为劣弧BC中点。故EFGX四点交比不变,又因为弧EF所对圆周角为定值,故△EXF形状不变。
当E,F在AB,AC上匀速运动时,X也在一定直线上运动。取BF=CE=1/2BC,易验证X与M重合;取E与C重合,则由反演反射知X为IM与圆BIC的第二交点重合。故X确实在IM上运动,即X符合题目一开始的定义:在IM上,且∠FXE=∠BIC
最后,根据我们最初反演反射的定义,NIE与NBX相似,NIF与NCX相似,立刻得到所求比例,证毕。
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