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又一个对三门问题的疑问

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我陆陆续续在数学吧发过好几次三门问题的帖子,也有很多热心的大神解答了,留下了自己的看法。我对这个“反直觉”的问题理解愈来愈深。现在我又有一个疑问,我觉得,如果我能把这个解决了,距离彻底理解这个问题就不远啦哈哈哈哈,谢谢各位~
已知(客观存在的条件):有100张彩票,编号001到100,其中002到099都是空的。
这个时候,第一个人,甲,选定了001号,然后通过三门问题的逻辑,排除到了100。所以按照三门问题的逻辑,001中奖机会为1%,100中奖为99%
第二个人,乙,选定了100号,然后用同样的规则排除,排除到了001号。这个时候001的概率为99%,而100的概率为1%。
看,我们用的是同样的一沓彩票,然后裁判排除的规则也是一样的(我看过一些解释说,裁判“随机”还是“事先知道答案”而排除,也会影响结果的,但在我这个场景中,裁判都是“事先知道答案”地排除)。在都是一模一样的情况下,出现了两个矛盾,甚至是截然相反的结果。
那到底001为1%,还是100为1%呢?


IP属地:广东1楼2023-02-06 17:44回复
    条件概率,强调“条件”这两个字,条件不同,概率就不同
    楼主提到的三门问题是典型的“在不同的人眼里条件不同”的例子,如果楼主说的100张彩票的例子真实发生了,那两个人的看法就都是正确的,因为TA们得到的信息不同,也就是条件不同,概率也就不同了,所以并没有矛盾之处
    楼主说裁判提前是知道答案的,那么在裁判看来这就没有什么概率的问题了,门后面有奖品的概率要么是0,要么是100%,这也是知道的条件不同,概率就不同的例子


    IP属地:北京来自Android客户端2楼2023-02-06 18:38
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      三门问题又不是换了一定中奖,只是问你换不换,你不换当然也有可能中奖。只是概率大小的问题。


      IP属地:上海来自iPhone客户端3楼2023-02-06 18:49
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        如果1中,100不中,那么选1的人面临的不一定是2-99被排除后剩下100,有可能剩下2到100中的任何数。不管剩下哪个,你不换能中的前提都是一开始你选到1,也就是1%。
        而只要一开始你选的不是1,最后排除完一定剩下1,换了就一定中。
        所以选1剩100(发生概率1/9900)和选100剩1(发生概率1/100),其实并不等同


        IP属地:北京4楼2023-02-06 19:22
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          另一个角度,如果有100个人,分别选了1到100,他们将面对的是:
          选1的人剩下1和随机一个其他数n,选2的人剩1和2,选3的人剩1和3。。。选100的人剩1和100.
          单拿选1和选n的两个人出来,看上去貌似是对等的,但这只是凑巧取出了选n的人,事实上另一个人选到n的概率只有1/99,如果另一个人不选到n,整个假设都无意义了。
          一个桶中有100个球,一个红球99个蓝球。一个人不知道里面球的比例,从中随机取出两个球,一红一蓝,于是他说这个桶里红球蓝球各一半。你的假设大概就是这个样子


          IP属地:北京5楼2023-02-06 19:34
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            你认为的裁判排除的规则其实是不一样的,一个是根据你选了001而排除,一个是根据你选了100而排除。或者说你不应该把甲的001和乙的100概率做比较,而应该比较甲不换的概率和换的概率,这两个是一样的


            IP属地:上海来自Android客户端6楼2023-02-06 19:37
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              甲选的时候,001(1%)-002到100(99%)
              乙选的时候,001(1%)-002到099(98%)-100(1%)
              排除之后,001(1%)对100(1%)
              1%/(1%+1%)=0.5
              区别在于,1个人选的时候是1对99,两个人的时候是1对1。


              IP属地:广西来自Android客户端7楼2023-02-06 22:37
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                客观就是每个门都是1%啊。随后随着获取信息的增加,换门中奖的概率提升到99%而已。你觉得甲特殊,是因为一开始就选出了甲“他原本选中的是中奖的门”这个只有1%可能的特殊事件来看啊。假如还有甲2甲3…分别选002 003…,那他们在开门过程中就直接出局了,没有甲1那么特殊而已。


                IP属地:日本来自iPhone客户端8楼2023-02-07 12:51
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                  就按照楼主说的,甲参加了游戏,并按照“三门问题”描述的那样,由主持人排除了2-99这98扇空门,此时甲计算出来1号门中奖率1%,100号门99%
                  然后裁判偷偷告诉你 奖品就在1号门后,甲不知道这个消息
                  现在裁判问甲要不要换门,甲会选择换
                  1号门后有奖的真实概率就是100%,但是甲由于条件不够,只能算出来是1%,这并不能说甲算错了


                  IP属地:北京来自Android客户端9楼2023-02-07 13:34
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                    他们都是对的,条件概率最大的本质性特征就是,概率会随着获取的信息变化,而非真实的客观不变的概率。


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                    IP属地:上海来自Android客户端10楼2023-02-07 14:36
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                      不用整100个,就原来的三门问题,你多安排个乙把B门占了,答案就从2/3变成1/2也就是换不换都一样了,说白了还是主持人能不能提供潜在帮助的问题。


                      IP属地:内蒙古来自iPhone客户端11楼2023-02-07 14:37
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                        先理解这句话,“概率是对不确定情况的猜测”,所以,在一个盲选的人看来,一百张票是“一样的”,那么选几号中奖的概率都一样,自然都是1%
                        然后要理解是什么改变了概率,是“信息”,从主持人视角看,已经确定了1号有奖,对主持人而言概率就是1号100%,其余0%,主持人排除2-99号时,其实等于在部分告知信息。当主持人机械地必然排除第一次选择之外的98张时,他这个行为给出的信息会自然地影响依然未知的部分概率分布,具体的影响过程就是三门问题的一系列解释和计算
                        回到做选择的那个人的视角,为什么不同号码的概率一开始都是1%?这是因为在他的眼里,彩票号码的信息是无效的信息,因为他不知道号码对应中奖与否的关系,在他的眼里,不管选哪一张,在揭开前本质都是“随机选的一张彩票”;而在排除后,号码依然是不重要的,真正区分的剩下的两张彩票的信息其实是这样的:A一开始随机选择的,B主持人排除后剩下的。所以举例的两种情况其实是一样的


                        IP属地:上海来自Android客户端12楼2023-02-07 20:59
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                          一个是客观概率,一个是主观概率。比如抛硬币,客观概率每次正反面概率都是二分之一。如果已经连续5次抛到正面,就会产生主观概率,为了满足客观二分之一的概率,下次是反面的概率一定大于二分之一


                          IP属地:福建来自Android客户端13楼2023-02-08 09:37
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                            你说的不清楚,第一人甲选后,裁判排除错的吗?还是等乙选后再排除?


                            来自Android客户端14楼2023-04-12 10:09
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                              这个问题就不一样了,当有两个人选择的时候,彩票组就变成了1+98+1,而且中奖的彩票一定在两个1里面,所以98的条件就变成了多余的,相当于一开始就只拿出来两张彩票给两个人选
                              或者把这道题演变一下,改成开97张彩票,既然你能理解三门,那么现在剩下的三张彩票中奖的概率就变成了1%+98%+1%,这不就看出来彼此的概率其实始终都是一样的,如果给你换的机会你也只会和98%换而不会和对方换。


                              IP属地:江苏15楼2023-07-21 08:50
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