\begin{Def}
设$K$是一个域, $L/K$是代数扩张, 则扩张$L/K$的\textbf{范数群}(norm group)定义如下: 若$[L:K]<\infty$, 则群的同态$\Nm_{L/K}:L^\times\to K^\times$的像$\Nm_{L/K}(L^\times)$称作$L/K$的范数群, 记作$N(L/K)$. 若$[L:K]=\infty$, 则$L/K$的范数群定义为
\begin{equation}
\label{form3.1.1}
N(L/K)=\dcap_{K\subset K'\subset L,[K':K]<\infty}N(K'/K).
\end{equation}
\end{Def}
\begin{Note}
\begin{enumerate}[{(i)}]
\item {{{{{}}}}}(\ref{form3.1.1})式对于有限扩张是{显然}成立的: 设$[L:K]<\infty$, 对于$L/K$的中间域$K'$, 由范数的传递性(命题\ref{1.3.13} (d)), 有
\begin{equation*}
N(L/K)=\Nm_{L/K}(L^\times)=\Nm_{K'/K}(\Nm_{L/K'}(L^\times))\subset\Nm_{K'/K}({K'}^\times)=N(K'/K).
\end{equation*}
\item 为求一般的代数扩张$L/K$的范数群, \textbf{不一定需要对于$K$的所有的有限扩域取范数群的交集}: 事实上, 设$K''/K$是$L/K${的}有限子扩张有$N(L/K)=\bigcap_{K''\subset K'\subset L,[K':K'']<\infty}N(K'/K)$. {{{{{{{}}}}}}}``$\subset$"平凡. 另一方面, 任取$L/K$的有限子扩张$K'_0/K$, 则
\begin{equation*}
\dcap_{K''\subset K'\subset L,[K':K'']<\infty}N(K'/K)\subset N(K''K'_0/K)\subset N(K'_0/K).
\end{equation*}
于是, 若$[L:K]<\infty$, $M/L$是代数扩张, 则
\begin{align*}
\Nm_{L/K}(N(M/L))&=\Nm_{L/K}\left(\dcap_{L\subset L'\subset M,[M:L]<\infty}N(L'/L)\right)\\
&\subset\dcap_{L\subset L'\subset M,[M:L]<\infty}\Nm_{L/K}(N(L'/L))\\
&=\dcap_{L\subset L'\subset M,[M:L]<\infty}N(L'/K)=N(M/K).
\end{align*}
{{{{{}}}}}, 若$[M:K]<\infty$, 则由范数的传递性, 此式平凡, 并且是等式:
\begin{equation*}
\Nm_{L/K}(N(M/L))=\Nm_{L/K}(\Nm_{M/L}(M^\times))=\Nm{M/K}(M^\times)=N(M/K).
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{Note}