设关于x∈[-1, 1]的多项式 T(n, x)= cos(n*arccos x)，对任何整数n
T(n+1, x) = cos((n+1)*arccos x)
= cos(n*arccos x + arccos x)
= cos(n*arccos x) * cos(arccos x) - sin(n*arccos x)*sin(arccos x)
= T(n, x)*x - sin(n*arccos x)*sin(arccos x)
T(n-1, x) = = cos((n-1)*arccos x)
= cos(n*arccos x - arccos x)
= cos(n*arccos x) * cos(arccos x) + sin(n*arccos x)*sin(arccos x)
= T(n, x)*x + sin(n*arccos x)*sin(arccos x)
所以 T(n+1, x) + T(n-1, x) = 2T(n, x)*x
再由T(0, x)=1, T(1, x)=x，可以得到T(2, x) = 2x²-1
因为ℓ2x²-1ℓ≤1，arccos(2x²-1)= 2arccos x，所以T(2n, x)= T(n, 2x²-1)
由于可以归纳出T(n, x)是整系数多项式，所以只要x²是有理数，T(2n, x)=T(n, 2x²-1)就也是有理数
T(3, x)= 2x(2x²-1)-x = 4x³-3x
T(4, x)= 2x(4x³-3x)-(2x²-1) = 8x⁴-8x²+1
T(5, x)= 2x(8x⁴-8x²+1)-(4x³-3x) = 16x^5-20x^3+5x
T(10, 1/√6) = T(5, -2/3) = -16*32/243+20*8/27-5*2/3 = 118/243

用复数也可
θ=arccos（1/✓6）
cosθ=1/✓6，sinθ=✓5/✓6
cos10θ+isin10θ=（cosθ+isinθ）¹⁰
=（1+i✓5）¹⁰/6⁵
=（–4+i2✓5）⁵/6⁵
=（–2+i✓5）⁵/243
=（–2+i✓5）（–1–i4✓5）²/243
=（–2+i✓5）（–79+i8✓5）/243
=（118–i95✓5）/243
所以cos10θ=118/243
sin10θ=–95✓5/243

本人比较笨，只会用这种方法目前