先求前p项的和。∑_{n=1}^p n∑_{m=1}^∞ (-1)^{m+1}/(n+m-1)^2=∑_{n=1}^p n∑_{k=n}^∞ (-1)^{k-n}/k^2=∑_{k=1}^p [(-1)^{k}/k^2]∑_{n=1}^k (-1)^n n + ∑_{k=p+1}^∞ [(-1)^{k}/k^2]∑_{n=1}^p (-1)^n n。∑_{n=1}^k (-1)^n n当n偶时,为n/2,奇时为-(n+1)/2。所以∑_{k=1}^p [(-1)^{k}/k^2]∑_{n=1}^k (-1)^n n=∑_{k偶≤p} (1/2k) +∑_{k奇≤p} ((k+1)/2k^2)=∑_{k≤p} (1/2k) + ∑_{k奇≤p} (1/2k^2)。|∑_{k=p+1}^∞ [(-1)^{k}/k^2]∑_{n=1}^p (-1)^n n|≤[(p+1)/2](1/(p+1)^2)→0。