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8892 三次曲线
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TrickSux
铁杆吧友
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Γ是以欧拉线一点为枢点的主等角共轭三次曲线,证明欧拉线向、O、H关于Γ的极锥线是直角双曲线
图中是H关于K005的极锥线
TrickSux
铁杆吧友
9
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欧拉线向划掉
,因为这个结论最开始设定的是纽堡曲线
TrickSux
铁杆吧友
9
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题号错了。。。对不起
Feuergonne
知名人士
11
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引理 一个点关于三次曲线的极锥线是等轴双曲线当且仅当它在这条三次曲线的三条渐近线围成的三角形的极轴上
给定△ABC的欧拉线上的一点X,记K = pK(X_6, X),设△ABC的内心为I,旁心为I_1,I_2,I_3,则K在I_1,I_2,I_3,I处的切线都过X,故X的极锥线是等轴双曲线
设K与圆ABC交于ABC以外的三点DEF,则AD,XD,AE,XE,AF,XF关于∠BAC等角共轭,所以存在以A,X为对径点的等轴双曲线过D,E,F,又ADEF共圆,所以X为DEF垂心,所以OX平行于XD,XE,XF方向的直线围成的三角形(相对DEF旋转了90°)的极轴
OX即△ABC的欧拉线,所以O,H,X_30的极锥线都是等轴双曲线
一个推论(推广)是外心O关于任何主等角共轭三次曲线的极锥线是等轴双曲线,因为上面的证明只用到了O是DEF的外心,而没有用到欧拉线
DroussentC
核心吧友
7
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K001上欧拉线向的情况可以推广为任意主等角共轭三次曲线的枢点,因为四等心处的切线共于枢点
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