我也没做出来~

我比上面的两位吧主看得懂题目，但也仅此而已。
若用几何的思路来分析这个问题的话，可以豁然开朗。
吾人知道，A^2 + B^2 + C^2 + D^2 表示四维空间中的一个球的方程，而 4√（ABCD} 可以理解为四个变量 (A, B, C, D) 构成的四维空间中的一个超球面的体积。
考察一下这两个几何图形的性质：
现在，假设存在满足方程 (A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 4√{ABCD} = 7·2^{2n-1} 的正整数解 (A, B, C, D)。
如果这个方程有正整数解，那么意味着球与超球面相交。在几何学上，这叫两个凸体相互穿过，或者至少是接触的。
但是问题中，7·2^{2n-1}是一个常数，表示了球的半径。而 4√{ABCD} 是超球面的体积，取决于 (A, B, C, D) 的值。因此，无论 (A, B, C, D) 取何值，它们的相互关系无法满足球和超球面相交的条件，因为它们的性质不允许这种情况发生。
因为这方程本质上描述了一个四维球内接一个三维球，并且球心之间的距离为一个固定的常数。这个常数决定了四维球的半径，因此可以看作是一个固定的值。另一方面，超球面的体积与方程中的系数 (A, B, C, D) 相关。
然而，这个体积与半径之间的关系导致了一个困境：在四维空间中，超球面的体积与半径的幂次关系是非线性的。具体地说，体积与半径的四次方成正比，这导致了一个难以满足题目的要求，矛盾。
因此，根据几何推理可出结论：不存在满足条件 A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 4√{ABCD} = 7·2^{2n-1}) 的正整数解（A, B, C, D)，其中 n > 1。

A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 4√{ABCD} = 7·2^{2n-1}) 的正整数解（A, B, C, D)，其中 n > 1。
先将四平方数之和表成一个整数x，然后等号两边同时各项平方以去根号，再将ABCD四个数用一个数y代替。最终可以得到下图，这样就容易做了@artintin

卡住了，，，帮个忙

嗯呐

（nA）²+（nB）²+（nC）²+（nD）²－4√（nA*nB*nC*nD）＝（A²+B²+C²+D²－4√ABCD）*n²
要是求出A²+B²+C²+D²－4√ABCD＝7*2∧（2*1－1）的四个未知数，那么把A B C D这四个未知数乘2就是n等于2的解，可能还有別的解，别的解求法也就是求A²+B²+C²+D²－4√ABCD＝14，四个未知数都是有理数的解，这四个有理数有一个条件就是四个有理数分母只能是2∧n

这下证明过程完整了吧，刚才我发现了一个漏洞

解答

能看下这样可以吗，不会用佩尔方程只能用这种笨办法@artintin