真不容许基数既比Beth1小又大，矛盾

可以说，不容许基数，绝不容许基数和容许基数，世界基数是一对互反的概念。一个是对运算不封闭且正则，一个是对运算封闭但不正则。
如果平凡不容许基数的存在，意义就是可以用自然数列得到不可达基数。如果绝不容许基数存在，则自然数列到该基数的函数可以得到一种不可达基数。
不容许基数的扩张:
不容许基数常常大量出现。
平凡不容许基数是ω-不容许基数
在连续统和2^阿列夫一之间，则是ω_1-不容许基数。
如果α是不容许基数，而2^(阿列夫α+1)里面仍然存在不容许基数，则里面的基数称为二阶不容许基数，以此类推。
绝不容许基数也是类似的，如果α>2^阿列夫n且为不可达基数，而任意的k满足α>k>2^阿列夫n，k^阿列夫零>α，称为ω_n-绝不容许基数，如果k是绝不容许基数，α是比2^k大的弱不可达基数，但任何一个m满足2^k<m<α，所有的m^阿列夫零>α，则α是二阶绝不容许基数。
不容许基数和绝不容许基数可能有弱马洛基数，弱紧致基数，弱可测基数等等，但不可能有强不可达基数。

一个基数，不可能同时属于幂容许基数和不容许基数，绝不容许基数必然属于不容许基数。绝不容许基数一定在2^阿列夫n和2^阿列夫(n+1)之间，不容许基数和绝不容许基数目前尚未知多大。
在不容许基数和绝不容许基数除了上述的扩张方式，还可以使用其他扩张。
在不容许基数/绝不容许基数的基础上，若k满足2^阿列夫(α+1)>k>2^阿列夫α，k具备的不可描述(反射)性比2^阿列夫α和2^阿列夫(α+1)强，则称这样的k是强不容许基数，而k还满足(2^阿列夫α的后继)^阿列夫零>k>2^阿列夫α，则称k是强绝不容许基数。