基于射影定理的进阶方法:
如图一,先将本尺规作图的草图画出来,观察到,若⊙A与点B是固定的,则B到切点C的距离也为定值.
连接AB,交⊙A于点D,设BD=l,⊙A半径为r,则BC=√l²+2rl,将根号下的代数式因式分解一下,得到BC=√l(2r+l).
我们于是想,既然BC可写成含r和l的代数式,那么是否可以用尺规把代数式“翻译”过来?
于是我想到了射影定理,定理的内容是,如图二的三角形中,CD²=AD×BD,即CD=√AD×BD. 那么如果AD=l,BD=2r+l,则CD=√l(2r+l).
知道了√l(2r+l)如何用尺规翻译以后,剩下的问题就迎刃而解了.
如图三,红色⊙A是原题中的⊙A,为了区分后来作的一个同心圆. 作射线BA,交⊙A于点D再以A为圆心,AB为半径作圆,交射线BA于点C,那么此时可推知,BD=2r+l,CD=l. 过点D作BC垂线,交大圆A于点E,根据射影定理,此时DE=√l(2r+l),所以最后一步,以B为圆心,截DE长为半径作⊙B,交⊙A于点F、G,BG、BF即为过B点的、⊙A的切线.
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