下列几个命题等价：
1. ｛N(t)｝是强度为lambda的泊松过程；
2. ｛X_j｝是来自指数总体的样本，参数为lambda；
3. ｛S_j｝是一系列伽玛分布，参数为（j,lambda)。

假设一开始有n个观众，电影时间长度为t，放完后，所有观众必须立即离场。这就相当于给定了一个条件“N(t)=n”。
在该条件下，那三个随机变量的分布会变化。
1. 在电影中途离场的观众累积数量N将会由泊松分布变为二项分布；
2. 每个观众离场的时刻将由伽玛分布变为均匀分布。
这个现象就叫“均匀混乱”。意思是，如果有一天天上的星星会全掉下来，那么等待这一到来的过程中，每个星星掉下来的时刻是均匀随机的，也是等可能的。

考虑今天讲的先救A再救B的问题。在计算P(B得救|A得救）时，条件“A得救”意味着“A得救”已成事实，时间起点应该变成“A得救的时刻”。但由于指数分布无记忆性，即使从该时刻算起，B的存活时间仍是参数为mu_B的指数时间。即，在条件“S_1≤S_B”下，S_B-S_1与S_B同分布。

显然，当Z_j=1时，即Z_j是常量时，有M(t)=N(t)。即一般的泊松过程｛N(t)｝可视为复合泊松过程｛M(t)｝的特殊情况。比如，若N(t)表示进入影院的观众总人数，M(t)表示进入影院的观众体重总数，则M(t)可视为N(t)的复合。当每个观众的体重视为定值1时，M(t)就是N(t)。此外，还可以认为“复合”是“远观了时间轴”，比如，相对于一年有12个月而言，称一年有4个季度，便是一种复合。

重新考虑泊松过程的三类重要的随机变量：事件发生总次数｛N(t)｝、事件发生时刻｛S_j｝、等待间隔｛X_j｝。在三者中，前两者的分布虽然确定，但参数与时间有关，而最后的｛X_j｝是独立同分布的指数随机变量。所以从｛X_j｝出发，推广泊松过程比较方便。事实上，如果只定义｛X_j｝是独立同分布的随机变量（不一定是指数分布的），便可得到更新过程的概念。

今天讲到例5.10的转移矩阵P的高次幂后，各元素渐趋稳定，而且对每一列来说，各行元素趋于相同。
那么，
1. 是不是所有马氏链的转移矩阵P的高次幂都渐趋稳定？
2. 例5.11说明：P经高次幂后，对每一列来说，各行元素的最大值与最小值之差有接近于零的趋势（至少不会增大）。这个怎么用范数来证明？
3. 例5.12看起来需要复杂的讨论，那么能否利用P的高次幂来求解？

如果质点从状态i出发后能够经常的返回，则称i为常返状态。不然，若不能经常返回（如不小心进入一个吸引状态），则称之为非常返状态。
对于经常能够返回的状态，再考虑细一些，可以计算一下等待它返回来平均要多久时间。如果平均等待时间是有限的，那么就叫正常返；不然，若平均等待时间是无穷大，则称为零常返。
事实上，非常返状态也可以认为是平均等待时间是无穷大。

如果几个状态可以互相到达（即互通），那么它们的周期性相同，常返性也相同。即，要么具有相同的周期，要么都是正常返，要么都是零常返，要么都是非常返。

今天在计算状态1的平均回转时间时（即，从1出发，平均多少步能返回来），用了两种方法：数分的强行计算级数与概率论的求助几何分布。
后者得出一个更有启发性的结果：E(X)+2。
事实上，这个结果是符合直觉的：因为“从1出发，返回到1”可以分解为“先从1到0，再从0到1”。而“先从1到0”是固定的2步，“再从0到1”是服从几何分布的多种返回方式，平均步数为E(X)。所以总平均步数就是E(X)+2。

前文提到转移矩阵P的高次幂渐趋于稳定，这常称为具有（平稳）不变分布。从另一个角度来看，若质点当前处于各状态的比例为pi，则再经过一次转移P后，比例不再变化（因为已经平稳）。用矩阵方程描述这个过程，就是pi P=pi。